Matemáticos transcendem uma teoria geométrica do movimento

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“[Floer] a teoria da homologia depende apenas da topologia do seu coletor. [This] é a visão incrível de Floer”, disse Agustín Moreno do Instituto de Estudos Avançados.
Dividindo por 0
A teoria de Floer acabou sendo extremamente útil em muitas áreas da geometria e topologia, incluindo simetria do espelho e o estudo dos nós.
“É a ferramenta central no assunto”, disse Manolescu.
Mas a teoria de Floer não resolveu completamente a conjectura de Arnold porque o método de Floer só funcionava em um tipo de variedade. Nas duas décadas seguintes, geômetras simplistas se envolveram em uma grande esforço da comunidade para superar essa obstrução. Eventualmente, o trabalho levou a uma prova da conjectura de Arnold onde a homologia é calculada usando números racionais. Mas não resolveu a conjectura de Arnold quando os buracos são contados usando outros sistemas numéricos, como números cíclicos.
A razão pela qual o trabalho não se estendeu aos sistemas numéricos cíclicos é que a prova envolvia a divisão pelo número de simetrias de um objeto específico. Isso é sempre possível com números racionais. Mas com números cíclicos, a divisão é mais complicada. Se o sistema numérico voltar depois de cinco — contando 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4 — então os números 5 e 10 são ambos equivalentes a nil. (Isso é semelhante ao modo como 13:00 é o mesmo que 13:00.) Como resultado, dividir por 5 nessa configuração é o mesmo que dividir por 0 – algo proibido em matemática. Ficou claro que alguém teria que desenvolver novas ferramentas para contornar esse problema.
“Se alguém me perguntar quais são as coisas técnicas que estão impedindo o desenvolvimento da teoria de Floer, a primeira coisa que vem à mente é o fato de que temos que introduzir esses denominadores”, disse Abouzaid.
Para expandir a teoria de Floer e provar a conjectura de Arnold com números cíclicos, Abouzaid e Blumberg precisavam olhar além da homologia.
Subindo a Torre do Topólogo
Os matemáticos geralmente pensam na homologia como o resultado da aplicação de uma receita específica a uma forma. Durante o século 20, os topólogos começaram a olhar para a homologia em seus próprios termos, independentemente do processo usado para criá-la.
“Não vamos pensar na receita. Vamos pensar no que sai da receita. Que estrutura, que propriedades tinha este grupo de homologia?” disse Abouzaid.
Os topólogos procuraram outras teorias que satisfizessem as mesmas propriedades fundamentais da homologia. Estas ficaram conhecidas como teorias de homologia generalizada. Com a homologia na base, os topólogos construíram uma torre de teorias de homologia generalizada cada vez mais complicadas, que podem ser usadas para classificar espaços.
A homologia de Floer espelha a teoria básica da homologia. Mas os geômetras simpléticos há muito se perguntam se é possível desenvolver versões de Floer de teorias topológicas no alto da torre: teorias que conectam a homologia generalizada com características específicas de um espaço em um cenário de dimensão infinita, assim como a teoria authentic de Floer fez.
Floer nunca teve an opportunity de tentar esse trabalho sozinho, morrendo em 1991 aos 34 anos. Mas os matemáticos continuaram procurando maneiras de expandir suas ideias.
Benchmarking de uma nova teoria
Agora, após quase cinco anos de trabalho, Abouzaid e Blumberg concretizaram essa visão. Seu novo artigo desenvolve uma versão Floer do Morava Ok-teoria que eles então usam para provar a conjectura de Arnold para sistemas numéricos cíclicos.
“Há um sentido em que isso completa um círculo para nós que remete ao trabalho authentic de Floer”, disse Keating.
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